6.3 Trigonometric Identities

基础练习

题目1：简化表达式

简化以下表达式：

a) \( 1 - \cos^2\frac{1}{2}\theta \)
b) \( 5\sin^2 3\theta + 5\cos^2 3\theta \)
c) \( \sin^2 A - 1 \)
d) \( \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \)
e) \( \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x} \)
f) \( \frac{\sqrt{1 - \cos^2 3A}}{\sqrt{1 - \sin^2 3A}} \)

题目2：求正切值

已知 \( 2\sin \theta = 3\cos \theta \)，求 \( \tan \theta \) 的值。

题目3：表达正切关系

已知 \( \sin x\cos y = 3\cos x\sin y \)，用 \( \tan y \) 表示 \( \tan x \)。

题目4：用正弦表示

仅用 \( \sin \theta \) 表示以下各式：

a) \( \cos^2\theta \)
b) \( \tan^2\theta \)
c) \( \cos \theta \tan \theta \)
d) \( \frac{\cos \theta}{\tan \theta} \)
e) \( (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) \)

中等难度练习

题目5：证明恒等式

使用恒等式 \( \sin^2 A + \cos^2 A \equiv 1 \) 和/或 \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \)（当 \( \cos A \neq 0 \) 时），证明：

a) \( (\sin \theta + \cos \theta)^2 \equiv 1 + 2\sin \theta \cos \theta \)
b) \( \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta \equiv \sin \theta \tan \theta \)
c) \( \tan x + \frac{1}{\tan x} \equiv \frac{1}{\sin x\cos x} \)
d) \( \cos^2 A - \sin^2 A \equiv 1 - 2\sin^2 A \)
e) \( (2\sin \theta - \cos \theta)^2 + (\sin \theta + 2\cos \theta)^2 \equiv 5 \)
f) \( 2 - (\sin \theta - \cos \theta)^2 \equiv (\sin \theta + \cos \theta)^2 \)
g) \( \sin^2 x\cos^2 y - \cos^2 x\sin^2 y \equiv \sin^2 x - \sin^2 y \)

题目6：求三角函数值

不使用计算器，求以下各式的值：

a) 已知 \( \tan \theta = \frac{5}{12} \) 且 \( \theta \) 是锐角，求 \( \sin \theta \) 和 \( \cos \theta \)
b) 已知 \( \cos \theta = -\frac{3}{5} \) 且 \( \theta \) 是钝角，求 \( \sin \theta \) 和 \( \tan \theta \)
c) 已知 \( \sin \theta = -\frac{7}{25} \) 且 \( \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi \)，求 \( \cos \theta \) 和 \( \tan \theta \)

题目7：参数消元

在以下各式中，消去 \( \theta \) 得到 \( x \) 和 \( y \) 的关系方程：

a) \( x = \sin \theta \)，\( y = \cos \theta \)
b) \( x = \sin \theta \)，\( y = 2\cos \theta \)
c) \( x = \sin \theta \)，\( y = \cos^2 \theta \)
d) \( x = \sin \theta \)，\( y = \tan \theta \)
e) \( x = \sin \theta + \cos \theta \)，\( y = \cos \theta - \sin \theta \)

挑战练习

题目8：复杂恒等式证明

证明以下恒等式：

a) \( \frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\cos^2\theta} \equiv 1 - \tan^2\theta \)
b) \( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \equiv \frac{2}{\cos \theta} \)
c) \( \frac{\sin^3\theta + \cos^3\theta}{\sin \theta + \cos \theta} \equiv 1 - \sin \theta \cos \theta \)

题目9：综合应用

已知 \( p = 3\cos \theta \) 和 \( q = 2\sin \theta \)，证明 \( 4p^2 + 9q^2 = 36 \)。

题目10：三角形中的应用

三角形 \( ABC \) 中，\( AB = 12 \) cm，\( BC = 8 \) cm，\( AC = 10 \) cm。

a) 证明 \( \cos B = \frac{9}{16} \)（3分）
b) 因此求 \( \sin B \) 的精确值（2分）

提示：使用余弦定理：\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)

题目11：另一个三角形问题

三角形 \( PQR \) 中，\( PR = 8 \) cm，\( QR = 6 \) cm，角 \( QPR = 30° \)。

a) 证明 \( \sin Q = \frac{2}{3} \)（3分）
b) 已知 \( Q \) 是钝角，求 \( \cos Q \) 的精确值（2分）

参考答案

题目1答案：

a) \( \sin^2\frac{1}{2}\theta \)

b) \( 5 \)

c) \( -\cos^2 A \)

d) \( \cos \theta \)

e) \( \tan x \)

f) \( \tan 3A \)

题目2答案：

\( \tan \theta = \frac{3}{2} \)

题目3答案：

\( \tan x = 3\tan y \)

题目4答案：

a) \( 1 - \sin^2\theta \)

b) \( \frac{\sin^2\theta}{1 - \sin^2\theta} \)

c) \( \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \)

d) \( \sqrt{1 - \sin^2\theta} \)

e) \( 1 - 2\sin^2\theta \)

题目5答案：

a) 左边 = \( \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta \) = 右边

b) 左边 = \( \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta\tan\theta \) = 右边

c) 左边 = \( \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x\cos x} \) = 右边

d) 左边 = \( \cos^2\theta - \sin^2\theta = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \) = 右边

e) 展开后使用 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)

f) 展开后使用 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)

g) 左边 = \( \sin^2 x\cos^2 y - \cos^2 x\sin^2 y = \sin^2 x(1 - \sin^2 y) - (1 - \sin^2 x)\sin^2 y = \sin^2 x - \sin^2 y \) = 右边

题目6答案：

a) \( \sin \theta = \frac{5}{13} \)，\( \cos \theta = \frac{12}{13} \)

b) \( \sin \theta = \frac{4}{5} \)，\( \tan \theta = -\frac{4}{3} \)

c) \( \cos \theta = \frac{24}{25} \)，\( \tan \theta = -\frac{7}{24} \)

题目7答案：

a) \( x^2 + y^2 = 1 \)

b) \( x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 \)

c) \( y = 1 - x^2 \)

d) \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \)（当 \( x \neq \pm 1 \) 时）

e) \( x^2 + y^2 = 2 \)

题目8答案：

a) 使用平方差公式和基本恒等式

b) 通分后使用 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)

c) 使用立方和公式 \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \)

题目9答案：

\( \cos \theta = \frac{p}{3} \)，\( \sin \theta = \frac{q}{2} \)

使用 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)：

\( \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^2 = 1 \)

\( \frac{q^2}{4} + \frac{p^2}{9} = 1 \)

两边乘以36：\( 4p^2 + 9q^2 = 36 \)

题目10答案：

a) 使用余弦定理：\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \)

\( 100 = 144 + 64 - 192\cos B \)

\( 192\cos B = 108 \)，所以 \( \cos B = \frac{9}{16} \)

b) \( \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{81}{256}} = \frac{\sqrt{175}}{16} = \frac{5\sqrt{7}}{16} \)

题目11答案：

a) 使用正弦定理：\( \frac{\sin Q}{PR} = \frac{\sin P}{QR} \)

\( \frac{\sin Q}{8} = \frac{\sin 30°}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12} \)

所以 \( \sin Q = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

b) \( \cos Q = -\sqrt{1 - \sin^2 Q} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \)